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2018下半年教师资格证笔试备考:微分与导数的关系

2018-08-31 18:00:54 教师招聘考试网 http://yanan.huatu.com/ 文章来源:延安人事考试网

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微分与导数的关系
导数与微分是两个明知不同,但有说不出哪里不同的概念,想要正确的理解它们需要了解微积分发展的历史和数学思想,下面主要针对一元函数
进行说明。
 
一、牛顿、莱布尼兹的古典微积分。
 

2.导数为什么会出现
导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的,之前数学家已经对曲线的切线进行了研究,但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定下来了。
曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题,微积分求解的主要是把曲线下的面积划分成无数个矩形面积之和,如果n越大,则这个近似越准确,如下图。
 

 
无穷小量就在这里出现了,无穷小量是建立微积分的基础,因此需要对其进行理解,有人认为:无穷小量就好比山上的灰尘,去掉和增加都没有什么影响。
在具体计算曲面下面积,即我们现在所说的定积分的时候,必然会遇到导数的问题,所以很自然的开始对导数的定义和讨论。
3.导数的古典意义
在曲线上取两点,连接起来就称为曲线的割线:
   
割线可以反应曲线的平均变化率,也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降,上升了多少,但不精确。

 
有了切线之后,我们进一步去定义导数:
   

4.无穷小量导致的麻烦
    
上面这张图示无穷小量的麻烦之一,所以就其定义而言,微积分的基础就是不牢固的。
无穷小量的麻烦还不止这些,比如下面的运算。

仔细观察运算结果,先是在约分中被约掉,然后又在加法中被忽略,就是说先被当做非0的量,又被当做了0,这既是第二次数学危机。
5.对于古典微积分的总结
切线:通过无穷小量定义了切线
导数:导数就是切线的斜率
微分:微分是微小的增量,即无穷小量。
二.基于极限重新建立微积分
1.极限
  
由上图可得,极限的描述并没有用到无穷小量
2.导数的极限定义

用极限严格定义了导数,此时导数应该被看成一个整体。与古典微积分不同,这里是先定义了导数然后才定义微分。  (编辑:陕西_编辑)
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